Не экспоненциально. На этот раз.
Ребята, всегда где-то таится экспонента. Когда скорость пропорциональна количеству, количество убывает экспоненциально: конденсатор разряжается через резистор, моющее средство вымывается из свитера, неприятный запах покидает комнату, когда вы открываете окно.
Но не в этот раз.
В предыдущем посте мы вывели скорость струи, вытекающей из отверстия, учитывая давление и плотность жидкости. И вместо обычного «скорость пропорциональна величине» мы получаем небольшую поправку: она пропорциональна корню квадратному из величины. Малейшее изменение — и все решение ведет себя по-другому. Теперь Ахилл наконец сможет добраться до черепахи за конечное время.
Меня всегда поражало то, что экспоненциальное затухание противоречиво. Оно невероятно быстрое (геометрическая прогрессия!) и в то же время бесконечно медленное — потому что никогда не достигает точного нуля.
Здесь, когда истечение ограничено не вязкостью, а инерцией, экспоненциальный закон превращается в параболу — и жидкость покидает сосуд за конечное время.
На картинке вы можете увидеть полный вывод.
Я совершенно забыл этот забавный факт из университетской физики. Спасибо, Никита, что подняли этот вопрос в нашем разговоре!