Скорость истечения
При решении задач по физике в школе я использовал стандартную формулу скорости струи, вытекающей из отверстия, с учетом давления внутри жидкости и ее плотности. Но я долгое время не мог сам толком вывести это выражение. И теперь я понимаю почему.
Картина была неоднозначной.
Сами уравнения тривиальны. С одной стороны, энергию можно записать как pV. С другой, кинетическая энергия равна 1/2 * m * v^2. Поэтому пишут pV = 1/2 * m * v^2. Используя rho = m / V, сразу получаем красивое выражение для скорости струи (все это есть на картинке).
Проблема концептуальная. Не существует такого объема, одна сторона которого находится под давлением 𝑝, другая сторона которого находится под давлением 0, и который одновременно ускоряется от 𝑣=0 до v=v0. В школе и даже в университете я интуитивно чувствовал это несоответствие, и поэтому вывод всегда воспринимался скорее как уловка, а не понимание.
Двадцать пять лет спустя что-то внезапно щелкнуло. Кажется, я понял. Иллюзия, конечно. Позвольте мне поделиться этим.
Первое: струйная трубка.
Трубка потока — это воображаемая трубка со входным, выходным отверстием и стенками. Стенки образованы линиями тока — кривыми, касательными к скорости жидкости в каждой точке. Эта конструкция является мощной, поскольку позволяет нам записать энергетический баланс между входом и выходом.
Важно отметить, что на стенках не совершается работа: силы давления перпендикулярны стенам, движение касается их, а скалярное произведение перпендикулярных векторов равно нулю.
Так что же происходит на самом деле?
Глубоко внутри жидкости жидкость почти покоится и давление максимально: 𝑣=0, 𝑝=𝑝0. В центре отверстия давление равно нулю, а жидкость имеет некоторую ненулевую скорость 𝑣, которую мы и хотим найти.
Одна величина плавно переходит в другую по мере продвижения от объема жидкости к отверстию. Рассмотрим трубу потока, идущую от центра объема жидкости к отверстию. Теперь все имеет смысл.
Входное отверстие струйной трубы значительно шире выходного. Это автоматически дает нам (почти) нулевую скорость на входе и конечную скорость на выходе. Мы больше не говорим о крошечном абстрактном объеме — мы рассматриваем весь объем жидкости внутри трубки потока.
Этот объем ускоряется под действием градиентов давления. Он играет сразу две роли:
◦это тело, которое ускоряется под действием силы, и
◦это рычаг, который умножает скорость жидкости на соотношение входного и выходного поперечного сечения.
Получившаяся картина немного безумная: грибовидная форма, со множеством трубочек, сужающихся от «шляпки» к «ножке». Жидкость ускоряется вдоль этих трубок; работа, совершаемая вначале, точно уравновешивается работой в конце каждой трубки. Сложный — но внутренне последовательный.
По сути, мы пошли по пути университетского уровня, который обычно ведет к интегралу Бернулли, но сделали это на школьном уровне. И теперь мы имеем «безволшебный» вывод скорости выбрасывающей струи.
А это всего лишь движущаяся жидкость. В простейшем случае: жидкость выливается из отверстия.
Но затем приходят вихри. Плазма. Массоперенос в сочетании с электромагнитными полями…
Вкусное безумие.